| 30 Mayo 2012
“Fotografía y geometría”
El club de Thales y Pascales
Poliedros
Un poliedro es, un cuerpo geométrico espacial cuyas caras se componen de una cantidad finita de polígonos planos que encierran un volumen finito y no nulo. La palabra poliedro viene del griego clásico πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys), "muchas" y de έδρα (edra), "base", "asiento", "cara".
Denominación de los poliedros
Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Su designación se basa en el griego clásico. Por ejemplo tetraedro (4-caras), pentaedro (5), hexaedro (6), heptaedro (7), icosaedro (20) - icosa es 20 en griego clásico -, etc.
Frecuentemente un poliedro se cualifica por una descripción del tipo de caras presentes en él. Si todas sus caras son iguales se les denomina poliedro regular. Por ejemplo, el dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal frente al dodecaedro rómbico.
Otras denominaciones comunes indican que alguna operación se ha efectuado en un poliedro más simple que lo ha transformado en el actual. Por ejemplo el cubo truncado, que semeja un hexaedro (cubo) con sus esquinas truncadas o recortadas. Tiene por lo tanto 14 caras, y en este caso no es regular ya que de sus caras, seis tienen forma de octógono regular y ocho de triángulo equilátero.
Criterios de clasificación de los poliedros
Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:
- Convexos, como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros cóncavos, como es el caso del toroide facetado y los sólidos de karim.
- Poliedro de caras regulares, cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares.
- Poliedro de caras uniformes, cuando todas las caras son iguales.
- Se dice poliedro de aristas uniformes cuando los pares de caras que se reúnen en cada arista son iguales.
- Se dice poliedro de vértices uniformes cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.
- Se dice poliedro regular o regular y uniforme, como el tetraedro o el icosaedro, cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas uniformes.
Estos grupos no son excluyentes entre sí; es decir, un poliedro puede estar incluido en más de uno de ellos.
Familias de poliedros
Poliedros regulares
Se dice que un poliedro regular es aquel que tiene caras y ángulos iguales, por ejemplo un cubo o hexaedro (seis caras). El cubo posee seis polígonos con lados iguales con la misma longitud, éstos a su vez se unen en vértice con ángulos de 90º grados. También eran conocidos antiguamente y son conocidos aún, como Sólidos platónicos.
Sólidos platónicos
Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a cada uno de estos cuerpos uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, al dodecaedro, la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los sólidos de Arquímedes.
Poliedros irregulares
Se dice que es un poliedro irregular aquel que tiene caras o ángulos desiguales.
En esta sección trabajaremos un sólido regular platónico, denominado TETRAEDRO.
El Tetraedro
Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. El tetraedro es el símplex tridimensional
1. En una hoja de cartulina, construya con regla y lápiz cualesquiera de las dos figuras que se dan a continuación:
2. Mida cada uno de los lados (aristas del tetraedro) de los triángulos del tetraedro que Usted va a construir a continuación. ¿Tiene algunas conclusiones?.
3. Por donde están las líneas punteadas realice quiebres de la cartulina, luego recorte con tijeras las líneas, pegar utilizando las aletas; ha construido un tetraedro.
4. Con los datos que Usted obtiene calcule el área del triángulo. Si no la sabe vaya a cualquier texto de matemáticas que allí la encontrará.
5. Ahora determine el área del tetraedro. Puede preguntar como lo hace, piense un poco; si no lo logra, vaya a la parte inferior. (1)
6. El volumen de un tetraedro está dado por la siguiente expresión:
V = (√2/12) a3
7. En una hoja coloque los siguientes datos:
Número de caras:
Número de vértices:
Número de aristas:
Área del tetraedro:
Volumen del tetraedro:
8. La formula de Euler, relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo, es decir, que al prolongar cualquiera de sus caras, éstas no cortan al poliedro. Esta fórmula, atribuida a René Descartes (1956-1650), dice así:
v – a + c = 2
donde v = vértices; a = aristas; c = caras.
Muestre que para el tetraedro se cumple.
9. Ahora con palillos construya un tetraedro.
(1) La manera es muy sencilla: como Usted, calculo el área de uno de los triángulos, sume las áreas de los 4 triángulos y obtiene el área del tetraedro. O de otro modo la expresión que nos permite calcular el área es la siguiente:
A = √3 . a2 donde a es la arista del tetraedro.
(2) Se atreve a realizar la demostración. Sugerencia recuerde que tiene un triángulo equilátero, los tres lados son iguales.
El hexaedro
Un hexaedro es un poliedro de seis caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras han de ser polígonos de cinco lados o menos. Si las seis caras del hexaedro son cuadrados congruentes, el hexaedro se denomina regular (cuerpo frecuentemente conocido como cubo), siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.
Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, recto y rectángulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos, e incluso como un prisma de base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base.
10. En una hoja de cartulina con lápiz y cartulina, construya la siguiente figura:
11. Mida un lado (la arista) de su figura, deben ser iguales todas.
12. Por las líneas realice el quiebre, luego con pegante una las caras del hexaedro.
13. Calcule el volumen del hexaedro que se puede hallar mediante la siguiente expresión:
V = a3
14. Ahora calcule el área del hexaedro, como cree que se puede hallar. Tiene 6 cuadrados.
A = 6a2
15. Demuestre la formula de Euler para el hexaedro.
16. Con palillos construya un hexaedro.
